Question

4．已知$tan（{α+β}）=2，tan（{π-β}）=\frac{3}{2}$．
（1）求tanα的值；
（2）求$\frac{{sin（{\frac{π}{2}+α}）-sin（{π+α}）}}{cosα+2sinα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得tan（α+β）=2，tanβ=-$\frac{3}{2}$，代入tanα=tan[（α+β）-β]=$\frac{tan（α+β）-tanβ}{1+tan（α+β）tanβ}$，计算可得；
（2）由诱导公式和弦化切可得原式=$\frac{1+tanα}{1+2tanα}$，代值计算可得．

解答 解：（1）∵$tan（{α+β}）=2，tan（{π-β}）=\frac{3}{2}$，
∴tan（α+β）=2，tanβ=-$\frac{3}{2}$，
∴tanα=tan[（α+β）-β]
=$\frac{tan（α+β）-tanβ}{1+tan（α+β）tanβ}$=$\frac{2+\frac{3}{2}}{1+2×（-\frac{3}{2}）}$=-$\frac{7}{4}$；
（2）化简可得$\frac{{sin（{\frac{π}{2}+α}）-sin（{π+α}）}}{cosα+2sinα}$
=$\frac{cosα+sinα}{cosα+2sinα}$=$\frac{1+tanα}{1+2tanα}$=$\frac{3}{10}$

点评 本题考查三角函数化简，涉及两角差的正切公式和同角三角函数基本关系，属基础题．