题目内容
探究函数f(x)=x+| 4 |
| x |
| x | … | -0.5 | -1 | -1.5 | -1.7 | -1.9 | -2 | -2.1 | -2.2 | -2.3 | -3 | … |
| y | … | -8.5 | -5 | -4.17 | -4.05 | -4.005 | -4 | -4.005 | -4.02 | -4.04 | -4.3 | … |
（1）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（2）证明：函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（3）思考：函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
分析：（1）由于函数f(x)=x+
，x∈(-∞，0)为对勾函数的左支，根据已知中的表格中的数据，我们易判断出函数的单调区间及最大值；
（2）取区间（-2，0）上的任意两个数x1，x2，且x1＜x2．根据函数f(x)=x+
，x∈(-∞，0)，我们判断出f（x1）-f（x2）的符号，进而根据函数单调性的定义，即可得到结论．
（3）由函数的解析式可得，函数f(x)=x+
为奇函数，由（1），（2）的结论，我们易得函数f(x)=x+
(x＞0)有最小值，也易得到x为何值时函数取最值．
| 4 |
| x |
（2）取区间（-2，0）上的任意两个数x1，x2，且x1＜x2．根据函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（3）由函数的解析式可得，函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
解答：解：（1）（-∞，-2）；（2分）
当x=-2时f（x）最大=-4．（4分）
（2）证明：设x1，x2是区间，（-2，0）上的任意两个数，且x1＜x2．
f(x1)-f(x2)=x1+
-(x2+
)=x1-x2+
-
=(x1-x2)(1-
)
=
（8分）
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0
又∵x1，x2∈（-2，0）
∴0＜x1x2＜4
∴x1x2-4＜0
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴函数在（-2，0）上为减函数．（12分）
（3）思考：f(x)=x+
(x＞0)，当x=2时，f（x）最小=4（16分）
当x=-2时f（x）最大=-4．（4分）
（2）证明：设x1，x2是区间，（-2，0）上的任意两个数，且x1＜x2．
f(x1)-f(x2)=x1+
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| 4 |
| x1x2 |
=
| (x1-x2)(x1x2-4) |
| x1x2 |
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0
又∵x1，x2∈（-2，0）
∴0＜x1x2＜4
∴x1x2-4＜0
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴函数在（-2，0）上为减函数．（12分）
（3）思考：f(x)=x+
| 4 |
| x |
点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，函数的单调性的判断与证明，其中熟练掌握对勾函数f(x)=x+
，(t＞0)的性质是解答本题的关键．
| t |
| x |
练习册系列答案
相关题目
探究函数f(x)=x+
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f(x)=x+
(x＞0)在区间（0，2）上递减，函数f(x)=x+
(x＞0)在区间 上递增；
（2）函数f(x)=x+
(x＞0)，当x= 时，y最小= ；
（3）函数f(x)=x+
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
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| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
（1）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
（2）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（3）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |