题目内容
探究函数f(x)=2x+
,x∈(0,+∞)的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如下:
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.
(1)函数f(x)=2x+
(x>0)在区间(0,2)上递减;函数f(x)=2x+
(x>0)在区间
(2)证明:函数f(x)=2x+
(x>0)在区间(0,2)递减.
(3)思考:函数f(x)=2x+
(x<0)时,有最值吗?是最大值还是最小值?此时x为何值?(直接回答结果,不需证明)
8 |
x |
x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
y | … | 16 | 10 | 8.34 | 8.1 | 8.01 | 8 | 8.01 | 8.04 | 8.08 | 8.6 | 10 | 11.6 | 15.14 | … |
(1)函数f(x)=2x+
8 |
x |
8 |
x |
(2,+∞)
(2,+∞)
上递增.当x=2
2
时,y最小=4
4
.(2)证明:函数f(x)=2x+
8 |
x |
(3)思考:函数f(x)=2x+
8 |
x |
分析:(1)利用基本不等式,可得当且仅当x=2时,函数f(x)=2x+
的最小值为8.由此可得函数在(0,+∞)上的单调增区间,得到答案;
(2)设x1、x2∈(0,2)且x1<x2,利用作差、因式分解、判断符号的方法加以证明可得f(x1)>f(x2),结合函数单调性的定义,可得函数在(0,2)上为减函数;
(3)根据函数在(0,+∞)上的单调性与最值,结合函数在{x|x≠0}上为奇函数,即可得到当x<0时函数有最大值为-4.
8 |
x |
(2)设x1、x2∈(0,2)且x1<x2,利用作差、因式分解、判断符号的方法加以证明可得f(x1)>f(x2),结合函数单调性的定义,可得函数在(0,2)上为减函数;
(3)根据函数在(0,+∞)上的单调性与最值,结合函数在{x|x≠0}上为奇函数,即可得到当x<0时函数有最大值为-4.
解答:解:(1)∵x>0,∴2x+
≥2
=8
当且仅当x=2时,函数f(x)=2x+
的最小值为8
由此可得函数在区间(0,2)上递减;在区间(2,+∞)上递增
故答案为:(2,+∞),2,4.…(4分)
(2)证明:设x1,x2是区间(0,2)上的任意两个数,且x1<x2,可得
f(x1)-f(x2)=2x1+
-(2x2+
)
=2(x1-x2)+
-
=2(x1-x2)(1-
)
=
∵x1<x2且x1,x2∈(0,2),可得x1-x2<0,x1x2-4<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
由此可得函数在(0,2)上为减函数.(10分)
(3)根据函数在{x|x≠0}上为奇函数,且在(0,+∞)上有最小值4,可得如下结论:
函数y=x+
,当x<0时,有最大值
当x=-2时,ymax=-4.(12分)
8 |
x |
2x•
|
当且仅当x=2时,函数f(x)=2x+
8 |
x |
由此可得函数在区间(0,2)上递减;在区间(2,+∞)上递增
故答案为:(2,+∞),2,4.…(4分)
(2)证明:设x1,x2是区间(0,2)上的任意两个数,且x1<x2,可得
f(x1)-f(x2)=2x1+
8 |
x1 |
8 |
x2 |
=2(x1-x2)+
8 |
x1 |
8 |
x2 |
4 |
x1x2 |
=
2(x1-x2)(x1x2-4) |
x1x2 |
∵x1<x2且x1,x2∈(0,2),可得x1-x2<0,x1x2-4<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
由此可得函数在(0,2)上为减函数.(10分)
(3)根据函数在{x|x≠0}上为奇函数,且在(0,+∞)上有最小值4,可得如下结论:
函数y=x+
4 |
x |
当x=-2时,ymax=-4.(12分)
点评:本题给出双曲型函数,求函数的单调区间与最值.着重考查了基本不等式求最值、用定义证明函数的单调性等知识,属于中档题.
练习册系列答案
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探究函数f(x)=x+
,x∈(0,+∞)的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如下:
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.
(1)函数f(x)=x+
(x>0)在区间(0,2)上递减,函数f(x)=x+
(x>0)在区间 上递增;
(2)函数f(x)=x+
(x>0),当x= 时,y最小= ;
(3)函数f(x)=x+
(x<0)时,有最值吗?是最大值还是最小值?此时x为何值?(直接回答结果,不需证明)
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x |
x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
(1)函数f(x)=x+
4 |
x |
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x |
(2)函数f(x)=x+
4 |
x |
(3)函数f(x)=x+
4 |
x |