题目内容
探究函数f(x)=2x+
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f(x)=2x+
(x＞0)在区间（0，2）上递减；函数f(x)=2x+
(x＞0)在区间
（2）证明：函数f(x)=2x+
(x＞0)在区间（0，2）递减．
（3）思考：函数f(x)=2x+
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
| 8 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 16 | 10 | 8.34 | 8.1 | 8.01 | 8 | 8.01 | 8.04 | 8.08 | 8.6 | 10 | 11.6 | 15.14 | … |
（1）函数f(x)=2x+
| 8 |
| x |
| 8 |
| x |
（2，+∞）
（2，+∞）
上递增．当x=2
2
时，y最小=4
4
．（2）证明：函数f(x)=2x+
| 8 |
| x |
（3）思考：函数f(x)=2x+
| 8 |
| x |
分析：（1）利用基本不等式，可得当且仅当x=2时，函数f(x)=2x+
的最小值为8．由此可得函数在（0，+∞）上的单调增区间，得到答案；
（2）设x1、x2∈（0，2）且x1＜x2，利用作差、因式分解、判断符号的方法加以证明可得f（x1）＞f（x2），结合函数单调性的定义，可得函数在（0，2）上为减函数；
（3）根据函数在（0，+∞）上的单调性与最值，结合函数在{x|x≠0}上为奇函数，即可得到当x＜0时函数有最大值为-4．
| 8 |
| x |
（2）设x1、x2∈（0，2）且x1＜x2，利用作差、因式分解、判断符号的方法加以证明可得f（x1）＞f（x2），结合函数单调性的定义，可得函数在（0，2）上为减函数；
（3）根据函数在（0，+∞）上的单调性与最值，结合函数在{x|x≠0}上为奇函数，即可得到当x＜0时函数有最大值为-4．
解答：解：（1）∵x＞0，∴2x+
≥2
=8
当且仅当x=2时，函数f(x)=2x+
的最小值为8
由此可得函数在区间（0，2）上递减；在区间（2，+∞）上递增
故答案为：（2，+∞），2，4．…（4分）
（2）证明：设x1，x2是区间（0，2）上的任意两个数，且x1＜x2，可得
f(x1)-f(x2)=2x1+
-(2x2+
)
=2(x1-x2)+
-
=2(x1-x2)(1-
)
=
∵x1＜x2且x1，x2∈（0，2），可得x1-x2＜0，x1x2-4＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
由此可得函数在（0，2）上为减函数．（10分）
（3）根据函数在{x|x≠0}上为奇函数，且在（0，+∞）上有最小值4，可得如下结论：
函数y=x+
，当x＜0时，有最大值
当x=-2时，ymax=-4．（12分）
| 8 |
| x |
2x•
|
当且仅当x=2时，函数f(x)=2x+
| 8 |
| x |
由此可得函数在区间（0，2）上递减；在区间（2，+∞）上递增
故答案为：（2，+∞），2，4．…（4分）
（2）证明：设x1，x2是区间（0，2）上的任意两个数，且x1＜x2，可得
f(x1)-f(x2)=2x1+
| 8 |
| x1 |
| 8 |
| x2 |
=2(x1-x2)+
| 8 |
| x1 |
| 8 |
| x2 |
| 4 |
| x1x2 |
=
| 2(x1-x2)(x1x2-4) |
| x1x2 |
∵x1＜x2且x1，x2∈（0，2），可得x1-x2＜0，x1x2-4＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
由此可得函数在（0，2）上为减函数．（10分）
（3）根据函数在{x|x≠0}上为奇函数，且在（0，+∞）上有最小值4，可得如下结论：
函数y=x+
| 4 |
| x |
当x=-2时，ymax=-4．（12分）
点评：本题给出双曲型函数，求函数的单调区间与最值．着重考查了基本不等式求最值、用定义证明函数的单调性等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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探究函数f(x)=x+
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f(x)=x+
(x＞0)在区间（0，2）上递减，函数f(x)=x+
(x＞0)在区间 上递增；
（2）函数f(x)=x+
(x＞0)，当x= 时，y最小= ；
（3）函数f(x)=x+
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
| 4 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
（1）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
（2）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（3）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |