Question

3．如图1所示，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，AD=8，BC=CD=4，过B作BE⊥AD于E，P是线段DE上的一个动点，将△ABE沿BE向上折起，使AC=4$\sqrt{3}$，连结PA、PC、AC（如图2）．
（Ⅰ）若点P、Q分别为DE和AC的中点，求证：PQ∥平面ABE；
（Ⅱ）若平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求PE的长度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理证明ME∥PQ即可．
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法结合二面角的余弦值建立方程关系进行求解即可．

解答 证明：（Ⅰ）取AB的中点M，连结EM，QM．

由Q为AC的中点，得MQ∥BC，且$MQ=\frac{1}{2}BC$，
又PE∥BC，且$PE=\frac{1}{2}BC$，
∴PE∥MQ，PE=MQ，
∴四边形PEMQ为平行四边形，
故ME∥PQ．
又PQ?平面AEB，ME?平面AEB，
所以PQ∥平面AEB．   
（Ⅱ）在△AEC中，AE=4，EC²=4+4=32，AC=4$\sqrt{3}$，
∴AE²+EC²=AD²，
由勾股定理得AE⊥EC，
∵AE⊥BE，CE∩BE=E，
∴AE⊥平面BCDE，
以E为原点，分别以$\overrightarrow{EB}，\overrightarrow{ED}，\overrightarrow{EA}$为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图2），
设PF=a，0≤a≤4，
则E（0，0，0），B（4，0，0），A（0，0，4），P（0，a，0），
C（4，4，0），$\overrightarrow{PC}$=（4，4-a，0），$\overrightarrow{AC}$=（4，4，-4），
设平面APC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{PC}$=4x+（4-a）y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AC}$=4x+4y-4z=0，
令z=1，则x=1-$\frac{4}{a}$，y=$\frac{4}{a}$，则$\overrightarrow{m}$=（1--$\frac{4}{a}$，$\frac{4}{a}$，1）
平面AEB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∵平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$|=$\frac{\frac{4}{a}}{\sqrt{（\frac{4}{a}）^{2}+（1-\frac{4}{a}）^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
平方解得a=2，即PE=2．

点评 本题考查了空间中的线面平行的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．