Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：{

1

an

+

1

2

}是等比数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设b_n=（3ⁿ-1）•

n

2n

•a_n，记其前n项和为T_n，若不等式2^n-1λ＜2^n-1T_n+n对一切n∈N^*恒成立对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得

1

an+1

+

1

2

=3（

1

an

+

1

2

），由此能证明{

1

an

+

1

2

}是以

3

2

为首项，3为公比的等比数列，从而得到a_n=

2

3n-1

．
（Ⅱ）由b_n=（3ⁿ-1）•

n

2n

•a_n=

n

2n-1

，利用错位相减法能求出T_n=4-

n+2

2n-1

，由此能求出不等式2^n-1λ＜2^n-1T_n+n对一切n∈N^*恒成立的λ的取值范围．

解答： （Ⅰ）证明：∵数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*），
∴

1

an+1

+

1

2

=3（

1

an

+

1

2

），
又

1

a1

+

1

2

=

3

2

，∴{

1

an

+

1

2

}是以

3

2

为首项，3为公比的等比数列，
∴

1

an

+

1

2

=

3

2

×3n-1=

3n

2

，
∴a_n=

2

3n-1

．

（Ⅱ）解：∵b_n=（3ⁿ-1）•

n

2n

•a_n=

n

2n-1

，
∴T_n=1×

1

20

+2×

1

2

+3×

1

22

+…+n×

1

2n-1

，①

1

2

Tn=1×

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n×

1

2n

，②
①-②，得

1

2

Tn=

1

20

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
∴T_n=4-

n+2

2n-1

，
∵不等式2^n-1λ＜2^n-1T_n+n对一切n∈N^*恒成立，
∴λ＜Tn+

n

2n-1

对一切n∈N^*恒成立，
∴λ＜4-

1

2n-2

对一切n∈N^*恒成立，
设g（n）=4-

1

2n-2

，则g（n）是递增函数，
∴λ＜g（1）=2．∴λ＜2．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．