Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性

（2）若函数有一个大于的零点，求实数的取值范围；

（3）若，且，求证：.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析.（2）.（3）证明见解析

【解析】

（1）求导后，分别在和两种情况下，根据导函数的正负得到原函数的单调性；

（2）当和时，根据函数的单调性和，可知不满足题意；当时，得到函数单调性；由，利用导数证得，根据零点存在定理可知有一个大于的零点，满足题意，由此得到结果；

（3）由（2）可知，将所证不等式转化为，令，利用导数可说明，由此证得结论.

（1）由题意知：的定义域为，，

①当时，恒成立，在上单调递增；

②当时，令，解得：，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减；

综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）知：当时，且单调递增，不存在大于的零点.

当，即时，在上单调递减，又，

在上恒成立，无零点，不符合题意.

当，即时，在上单调递增，在上单调递减，

，，

令，设，则，

，在上单调递减，

，在上单调递减，

，即，

在上无零点，在上有唯一零点，即有一个大于的零点；

综上所述：满足条件的实数的取值范围是.

（3）证明：由（2）得：且，

由知：要证，即证，

即证，

令，则，

在上单调递增，，

，由此证得：.