Question

【题目】已知函数.

当时

①求证：在区间上单调递减；

②求函数在区间上的值域.

对于任意，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】①证明见解析；②；.

【解析】

①先求导得，令，有，当时，，所以所以，进而证出在区间上单调递减；②由①知：函数在单调递减，函数在区间上单调递减，，，进而得出结果；

先整理不等式得，转化为函数在区间为增函数，再转化为对应函数导数恒非负，分离变量得最小值，最后利用导数求函数单调性，得最值，得出实数的取值范围.

解：①当时，，

，

令，有，

当时，，所以所以

故当时，函数单调递减，

②由①知：函数在单调递减.

函数在区间上单调递减，

，

故函数在区间上的值域为.

由，有，

故可化为，

整理为：，

即函数在区间为增函数，

，

，

故当时，，

即，

①当时，；

②当时，整理为：，

令，有，

当，，，有，

当时，由，有，可得，

由上知时，函数单调递减，

故，故有：，可得.