Question

18．设函数f（x）=sin²x-cos²x-4sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）
（1）化简f（x）并写出最大值与最小值
（2）△ABC中，f（B）=-$\frac{1}{2}$，b=2，求ac的最大值．

Answer 1

分析 （1）将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）图象的最值．
（2）由（1）求出f（B）的解析式，由f（B）=-$\frac{1}{2}$解出B的大小，再利用正弦定理或者基本不等式即可求出ac的最大值．

解答 解：∵f（x）=sin²x-cos²x-4sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）
?f（x）=-cos2x-4sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）
?f（x）=-cos2x-2sin（2x$+\frac{π}{2}$）
?f（x）=-cos2x+2cos2x
∴f（x）=cos2x，
又∵cosx正弦函数的最大值为1，最小值为-1，
所以f（x）的最大值为1，最小值为-1．
（2）由（1）得f（x）=cos2x
∴$f（B）=cos2B=-\frac{1}{2}$，
解得：2B=120°，即B=60°
由余弦定理得：4=a²+c²-ac，
又a²+c²≥2ac，∴ac≤4，（当且仅当a=c时取等号）
所以：ac的最大值为4．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦定理或者基本不等式求最值问题．三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．