题目内容

一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且这个球的体积为 $数学公式$ ，已知该六棱柱的高为 $数学公式$ ，则这个六棱柱的体积为________．

$\text{[math]}$
分析：根据外接球的体积为 $\text{[math]}$ ，得到外接球半径R=1．在经过球心和正六棱柱一条侧棱的截面中，运用勾股定理算出底面的边长，从而得出底面六边形的面积，最后根据柱体体积公式算出这个六棱柱的体积．
解答：设该正六棱柱的底面边长为a，高为h，外接球的半径为R
设过球心与正六棱柱一条侧棱的平面截六棱柱得矩形ABCD，
则矩形一边长为底面直径2a，另一边长为棱柱的高h，
∴矩形对角线AC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2R
∵外接球的体积V_球= $\text{[math]}$ R³= $\text{[math]}$
∴外接球半径R=1，得 $\text{[math]}$ =2，解之得a= $\text{[math]}$
由此可得正六棱柱底面的面积为S=6× $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$
∴这个六棱柱的体积为V_正六棱柱=Sh= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题以正六棱柱为例，考查了球内接几何体、正六棱柱的性质和球体柱体体积公式等知识，属于基础题．