Question

（2012•海口模拟）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且这个球的体积为

4π

3

，已知该六棱柱的高为

3

，则这个六棱柱的体积为

9

8

．

Answer 1

分析：根据外接球的体积为

4π

3

，得到外接球半径R=1．在经过球心和正六棱柱一条侧棱的截面中，运用勾股定理算出底面的边长，从而得出底面六边形的面积，最后根据柱体体积公式算出这个六棱柱的体积．

解答：解：设该正六棱柱的底面边长为a，高为h，外接球的半径为R
设过球心与正六棱柱一条侧棱的平面截六棱柱得矩形ABCD，
则矩形一边长为底面直径2a，另一边长为棱柱的高h，
∴矩形对角线AC=

h2+4a2

=

3 +4a2

=2R
∵外接球的体积V_球=

4π

3

R³=

4π

3

∴外接球半径R=1，得

3 +4a2

=2，解之得a=

1

2

由此可得正六棱柱底面的面积为S=6×

3

4

×（

1

2

）²=

3 3

8

∴这个六棱柱的体积为V_正六棱柱=Sh=

3 3

8

×

3

=

9

8

故答案为：

9

8

点评：本题以正六棱柱为例，考查了球内接几何体、正六棱柱的性质和球体柱体体积公式等知识，属于基础题．