Question

学习曲线是1936年美国康乃尔大学T.P.Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f(t)＝·100%(其中f(t)为掌握该任务的程度，t为学习时间)，且这类学习任务中的某项任务满足f(2)＝60%.

(1)求f(t)的表达式，计算f(0)并说明f(0)的含义；

(2)已知2^x>xln2对任意x>0恒成立，现定义为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间t∈(1,2)时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．

Answer 1

f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%.

(2)令学习效率指数＝y，

则y＝现研究函数g(t)＝t＋的单调性，

由于g′(t)＝1＋ (t>0)，

又已知2^x>xln2对任意x>0恒成立，即2^t－tln2>0，则g′(t)>0恒成立，

∴g(t)在(0，＋∞)上为增函数，且g(t)为正数．

∴y＝＝ (t>0)在(0，＋∞)上为减函数，

而

即y＝∈(，)，

故所求学习效率指数的取值范围是(，)．