Question

16．在△ABC中，CB=4，CA=3，$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{AC}$=-6．
（1）求∠ACB的大小；
（2）若D是AB上一动点，求$\overrightarrow{AD}•$（$\overrightarrow{CA}$+2$\overrightarrow{CB}$）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质即可得出；
（2）设$\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}$，k∈[0，1]．可得$\overrightarrow{AD}•$（$\overrightarrow{CA}$+2$\overrightarrow{CB}$）=k$（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）$•（$\overrightarrow{CA}$+2$\overrightarrow{CB}$）=29k，即可得出．

解答 解：（1）∵CB=4，CA=3，$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{AC}$=-6．
∴4×3×cos（π-∠ACB）=-6，
化为cos∠ACB=$\frac{1}{2}$，∠ACB∈（0，π），
∴∠ACB=$\frac{π}{3}$．
（2）设$\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}$，k∈[0，1]．
∴$\overrightarrow{AD}•$（$\overrightarrow{CA}$+2$\overrightarrow{CB}$）=$k\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{CA}$+2$\overrightarrow{CB}$）=k$（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）$•（$\overrightarrow{CA}$+2$\overrightarrow{CB}$）=k$（2{\overrightarrow{CB}}^{2}-{\overrightarrow{CA}}^{2}-\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}）$=k（2×4²-3²+6）=29k∈[0，29]．
∴$\overrightarrow{AD}•$（$\overrightarrow{CA}$+2$\overrightarrow{CB}$）的取值范围是[0，29]．

点评 本题考查了数量积的运算性质、向量共线定理、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．