Question

5．定义运算x*y=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥y）}\\{x（x＜y）}\end{array}\right.$，则函数f（x）=（sin2x）*（cosx）的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由题意可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cosx，sin2x≥cosx}\\{sin2x，sin2x＜cosx}\end{array}\right.$，分类讨论分别求最大值比较可得．

解答 解：由题意可得f（x）=（sin2x）*（cosx）=$\left\{\begin{array}{l}{cosx，sin2x≥cosx}\\{sin2x，sin2x＜cosx}\end{array}\right.$，
∴当sin2x≥cosx即2sinxcosx≥cosx，即cosx（2sinx-1）≥0时，
可得$\left\{\begin{array}{l}{cosx≥0}\\{sinx-\frac{1}{2}≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{cosx≤0}\\{sinx-\frac{1}{2}≤0}\end{array}\right.$，解得2kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{2}$或2kπ+$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z
此时f（x）=cosx，最大值为1；
同理当sin2x＜cosx时f（x）=cosx，最大值也为1．
故选：D．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及新定义即分类讨论的思想和解三角方程，属中档题．