Question

6．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则Eξ的最大值为$\frac{3}{2}$，D（ξ）的最小值为$\frac{1}{4}$．

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{2}$-p	p	$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据所给的分布列的性质，即每一个概率都在[0，1）之间，写出关于概率P的不等式组，解出P的范围，写出期望和方差的表示式，根据P的范围，做出最值．

解答 解：由随机变量ξ的分布列的性质，得：
$\left\{\begin{array}{l}{0≤\frac{1}{2}-p≤1}\\{0≤p≤1}\end{array}\right.$，解得0≤p$≤\frac{1}{2}$，
∴Eξ=p+1≤$\frac{3}{2}$，
Dξ=（0-p-1）²×$（\frac{1}{2}-p）$+（1-p-1）²×p+（2-p-1）²×$\frac{1}{2}$=-p²-p+1=-（p+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$．
∴当P=$\frac{1}{2}$时，Eξ取最大值（Eξ）_max=$1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，D（ξ）取最小值D（ξ）_min=-（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查离散型随机变量的数学期望的最大值和方差的最小值的求法，是中档题，解题时要注意分布列的性质和配方法的合理运用．