Question

7．设函数f（x）=mx²-mx-1（m∈R），若对于x∈[-2，2]，f（x）＜-m+5恒成立，则m的取值范围为（-∞，$\frac{6}{7}$）．

Answer 1

分析 将不等式等价f（x）＜-m+5转化为m（x²-x+1）＜6，再利用参变量分离转化为m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$，f（x）＜-m+5对于x∈[-2，2]恒成立，即m＜（$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$）_min，再求出y=$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值，即可求得m的取值范围．

解答 解：∵f（x）=mx²-mx-1，
∴f（x）＜-m+5对于x∈[-2，2]恒成立，即m（x²-x+1）＜6对于x∈[-2，2]恒成立，
∵x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，
∴m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$对于x∈[-2，2]恒成立，即m＜（$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$）_min，
∵y=$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$=$\frac{6}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，
∴当x=-2，（$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$）_min=$\frac{6}{7}$，
∴m＜$\frac{6}{7}$．
故m的取值范围为（-∞，$\frac{6}{7}$）．
故答案为：（-∞，$\frac{6}{7}$）．

点评 本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，以及函数的恒成立问题．对于恒成立问题，一般选用参变量分离，转化成求函数的最值．属于中档题．