Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长均为4，D为棱AB的中点，则AC与平面A₁DC所成角的正弦值为
（　　）

• A．

  5

  5

• B．

  2

  2

• C．

  2

  4

• D．

  6

  4

Answer 1

分析：利用等体积计算点A到平面A₁DC的距离为h，再利用正弦函数可求AC与平面A₁DC所成角的正弦值

解答：解：设点A到平面A₁DC的距离为h，则
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长均为4，D为棱AB的中点
∴CD⊥A1D，CD=2

3

，A1D=2

5

∴S△A1DC=

1

2

×2

5

×2

3

=2

15

，S△ACD=2

3

∵VA1-ACD=VA-A1CD
∴

1

3

×2

3

×4=

1

3

×2

15

×h
∴h=

4

5

∴AC与平面A₁DC所成角的正弦值为

h

AC

=

1

5

=

5

5

故选A．

点评：本题以直三棱柱为载体，考查直线与平面所成角，解题的关键是求出点A到平面A₁DC的距离．