Question

设函数f（x）=ax³-3x+1（x∈R），若对于任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，则实数a的值为（　　）

• A、0
• B、2
• C、4
• D、1

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：首先由f（x）=ax³-3x+1，可得f′（x）=3ax²-3，（1）当a≤0时，3ax²-3＜0，函数f（x）是减函数，f（x）_min=f（1）=a-2≥0，解得a≥2，与已知矛盾；（2）当a＞0时，令f′（x）=0，可得x=±

a

a

，根据对于任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，分类讨论，求出a的取值范围即可．

解答： 解：由f（x）=ax³-3x+1，
可得f′（x）=3ax²-3，
（1）当a≤0时，3ax²-3＜0，
函数f（x）是减函数，
f（x）_min=f（1）=a-2≥0，
解得a≥2，与已知矛盾；
（2）当a＞0时，令f′（x）=0，可得x=±

a

a

，
①当x＜-

a

a

时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，
②当-

a

a

＜x＜

a

a

时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，
③当x＞

a

a

时，f（x）为递增函数；
所以f（

a

a

）≥0，f（-1）≥0，且f（1）≥0，
由f（

a

a

）≥0，解得a≥4，
由f（-1）≥0，解得a≤4，
由f（1）≥0解得2≤a≤4，
综上，可得a=4．
故选：C．

点评：此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．