Question

18．如图，F₁，F₂是椭圆${C_1}：\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$与双曲线C₂的公共焦点，A，B分别是C₁，C₂在第二、四象限的公共点．若四边形AF₁BF₂为矩形，则C₂的离心率是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设|AF₁|=x，|AF₂|=y，利用椭圆的定义，四边形AF₁BF₂为矩形，可求出x，y的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：设|AF₁|=x，|AF₂|=y，
∵点A为椭圆${C_1}：\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$，
∴a=2$\sqrt{3}$，b=2，c=2$\sqrt{2}$；
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=4$\sqrt{3}$，即x+y=4$\sqrt{3}$；①
又四边形AF₁BF₂为矩形，
∴x²+y²=（2c）²=32，②
由①②解得x=2$\sqrt{3}$-2，y=2$\sqrt{3}$+2，
设双曲线C₂的实轴长为2a′，焦距为2c′，
则2a′=|AF₂|-|AF₁|=y-x=4，2c′=4$\sqrt{2}$，
∴C₂的离心率是e=$\frac{c′}{a′}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF₁|与|AF₂|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．