Question

1．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，且B₁C₁=$\sqrt{2}$，BB₁=BC₁=BD₁=$\sqrt{5}$．
（1）求证：平面B₁BD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）已知E为棱DD₁的中点，线段C₁E与线段CD₁的交于点F，求直线A₁F与平面BB₁D₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接A₁C₁，则A₁C₁∩B₁D₁=O，连接BO，证明BO⊥平面A₁B₁C₁D₁，即可证明平面B₁BD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）建立如图所示的坐标系，则平面BB₁D₁的法向量为（1，0，0），求出$\overrightarrow{{A}_{1}F}$，即可求直线A₁F与平面BB₁D₁所成角的正弦值．

解答 （1）证明：连接A₁C₁，则A₁C₁∩B₁D₁=O，连接BO，
∵BB₁=BC₁=BD₁=$\sqrt{5}$．
∴BO⊥B₁D₁，BO⊥A₁C₁，
∵A₁C₁∩B₁D₁=O，
∴BO⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∵BO?平面B₁BD₁，
∴平面B₁BD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）解：由题意，建立如图所示的坐标系，则平面BB₁D₁的法向量为（1，0，0），A₁（-1，0，0），
∵E（0，$\frac{3}{2}$，1），C₁（-1，0，0），C₁F=$\frac{2}{3}$C₁E，
∴F（-$\frac{1}{3}$，1，$\frac{2}{3}$），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（$\frac{2}{3}$，1，$\frac{2}{3}$），
∴直线A₁F与平面BB₁D₁所成角的正弦值为|$\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{4}{9}+1+\frac{4}{9}}}$|=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量方法的运用，属于中档题．