Question

11．已知函数f（x）=|x|•e^x（x≠0），其中e为自然对数的底数，关于x的方程$f（x）+\frac{2}{f（x）}-λ=0$有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{e}}）$
• B． $（{2\sqrt{2}，+∞}）$
• C． $（{e+\frac{2}{e}，+∞}）$
• D． $（{2e+\frac{1}{e}，+∞}）$

Answer 1

分析 写出分段函数，利用导数研究单调性和极值，画出图形的大致形状，结合关于x的方程$f（x）+\frac{2}{f（x）}-λ=0$有四个相异实根列式求得实数λ的取值范围．

解答 解：f（x）=|x|•e^x=$\left\{\begin{array}{l}{x•{e}^{x}，x＞0}\\{-x•{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$．
当x＞0时，由f（x）=x•e^x，得f′（x）=e^x+x•e^x=e^x（x+1）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，由f（x）=-x•e^x，得f′（x）=-e^x-x•e^x=-e^x（x+1）．
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，
∴当x=-1时，函数f（x）取得极大值为f（-1）=$\frac{1}{e}$．
作出函数f（x）=|x|•e^x（x≠0）的图象的大致形状：

令f（x）=t，则方程$f（x）+\frac{2}{f（x）}-λ=0$化为$t+\frac{2}{t}-λ=0$，
即t²-λt+2=0，
要使关于x的方程$f（x）+\frac{2}{f（x）}-λ=0$有四个相异实根，
则方程t²-λt+2=0的两根一个在（0，$\frac{1}{e}$），一个在（$\frac{1}{e}，+∞$）之间．
则$\frac{1}{{e}^{2}}-\frac{λ}{e}+2＜0$，解得λ＞2e+$\frac{1}{e}$．
∴实数λ的取值范围是（2e+$\frac{1}{e}$，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查利用导数求极值，考查数学转化思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．