Question

2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2a，0）（a＞0），直线l₁：mx-y-2m+2=0与直线l₂：x+my=0（m∈R）相交于点M，且MA²+MO²=2a²+16，则实数a的取值范围是[2，1+$\sqrt{17}$]．

Answer 1

分析 两直线方程联立，消去m，可得M的轨迹方程，再设M（x，y），运用两点的距离公式，可得M的又一轨迹方程，由两圆有公共点，可得a的不等式，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：由题意，$\left\{\begin{array}{l}{mx-y-2m+2=0}\\{x+my=0}\end{array}\right.$，
将m=-$\frac{x}{y}$代入l₁：mx-y-2m+2=0，化简可得x²+y²-2x-2y=0，
即有M在以圆心C₁（1，1），半径为$\sqrt{2}$的圆上，
又点A（2a，0）（a＞0），设M（x，y），
MA²+MO²=2a²+16，可得（x-2a）²+y²+x²+y²=2a²+16，
即有x²+y²-2ax+a²-8=0，
可得M在以圆心C₂（a，0），半径为2$\sqrt{2}$的圆上，
由两圆相交可得$\sqrt{2}$≤|C₁C₂|≤3$\sqrt{2}$，
即为$\sqrt{2}$≤$\sqrt{（a-1）^{2}+1}$≤3$\sqrt{2}$，
解得2≤a≤1+$\sqrt{17}$．
故答案为：[2，1+$\sqrt{17}$]．

点评 本题考查两直线的交点轨迹，以及转化思想，两圆的位置关系，考查运算能力，属于难题．