Question

已知函数f（x）=1-ax，g（x）=x-

2

x+1

，若?x₁∈[1，2]，总?x₂∈[0，1]使f（x₁）=g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：设出f（x）和g（x）的值域，然后分类求出函数f（x）的值域，利用导数求出函数g（x）的值域，把函数f（x）=1-ax，g（x）=x-

2

x+1

，若?x₁∈[1，2]，总?x₂∈[0，1]使f（x₁）=g（x₂）转化为A⊆B．然后由集合端点值间的关系列不等式组求解实数a的取值范围．

解答： 解：设f（x）的值域为A，函数g（x）的值域为B，
要使函数f（x）=1-ax，g（x）=x-

2

x+1

，若?x₁∈[1，2]，总?x₂∈[0，1]使f（x₁）=g（x₂），
则A⊆B．
由g（x）=x-

2

x+1

，得f′(x)=1+

1

(x+1)2

，函数g（x）在[0，1]上为增函数，
∴g（x）∈[-2，0]，即B=[-2，0]．
当a＞0时，函数f（x）=1-ax在[1，2]上为减函数，值域为[1-2a，1-a]，即A=[1-2a，1-a]，
由[1-2a，1-a]⊆[-2，0]，得

1-2a≥-2 1-a≤0

，解得：1≤a≤

3

2

；
当a=0时，A={1}，不满足A⊆B；
当a＜0时，函数f（x）=1-ax在[1，2]上为增函数，值域为[1-a，1-2a]，即A=[1-a，1-2a]，
由[1-a，1-2a]⊆[-2，0]，得

1-a≥-2 1-2a≤0

，解得：

1

2

≤a≤3，又a＜0，∴a∈∅．
综上，实数a的取值范围是[1，

3

2

]．

点评：本题考查了函数的性质及其应用，考查了函数值域的求法，考查了数学转化思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．