Question

11．在数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，对任意的n∈N^*，都有$\frac{1}{（n+1）a_{n+1}}$=$\frac{na_n+1}{na_n}$成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；并求满足S_n＜$\frac{15}{16}$时n的最大值．

Answer 1

分析 （I）a₁=$\frac{1}{2}$，对任意的n∈N^*，都有$\frac{1}{（n+1）a_{n+1}}$=$\frac{na_n+1}{na_n}$成立，可得$\frac{1}{（n+1）a_{n+1}}$-$\frac{1}{n{a}_{n}}$=1．利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和”方法可得数列{a_n}的前n项和S_n，S_n＜$\frac{15}{16}$，即1-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{15}{16}$，基础即可得出．

解答 解：（I）∵a₁=$\frac{1}{2}$，对任意的n∈N^*，都有$\frac{1}{（n+1）a_{n+1}}$=$\frac{na_n+1}{na_n}$成立，∴$\frac{1}{（n+1）a_{n+1}}$-$\frac{1}{n{a}_{n}}$=1．
∴$\frac{1}{n{a}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
（II）a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$，
S_n＜$\frac{15}{16}$，即1-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{15}{16}$，解得n＜15，因此满足S_n＜$\frac{15}{16}$时n的最大值为14．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和方法”、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．