Question

12．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，当B、C分别在平面直角坐标系xOy的x轴、y轴上运动时，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的最大值是18．

Answer 1

分析 由题意画出图形，写出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的数量积，由∠AOC为定值可得当$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OC}|$时，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$有最大值，由此求得答案．

解答 解：由题意可知，BC=5，cos∠ABC=$\frac{4}{5}$，
则cos$∠AOC=\frac{4}{5}$，
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|•cos∠AOC$=$\frac{4}{5}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|$．
取AC的中点D，连接OD，则当OD⊥AC时$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$有最大值．
sin∠AOD=$\sqrt{\frac{1-cos∠AOC}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴$|\overrightarrow{OA}|=\frac{\frac{AC}{2}}{sin∠AOD}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{2}$．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的最大值是$\frac{4}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{2}×\frac{3\sqrt{10}}{2}=18$．
故答案为：18．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．