Question

设函数f（x）=|2x+3|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜2；
（Ⅱ）若f（x）+2|x-5|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用绝对值不等式的几何意义，解不等式|2x+3|＜2即可；
（Ⅱ）依题意，m＜[f（x）+2|x-5|]_min，利用绝对值三角不等式易求[f（x）+2|x-5|]_min=13，从而可得答案．

解答： 解：（Ⅰ） f（x）＜2，即|2x+3|＜2
∴-2＜2x+3＜2，解得：-

5

2

＜x＜-

1

2

．
∴原不等式的解集为(-

5

2

，-

1

2

)（5分）
（Ⅱ）∵f（x）+2|x-5|＞m对一切实数x均成立，
∴m＜[f（x）+2|x-5|]_min，
∵f（x）+2|x-5|=|2x+3|+2|x-5|=|2x+3|+|2x-10|≥|（2x+3）-（2x-10）|=13，
即[f（x）+2|x-5|]_min=13，
∴m＜13．（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，突出考查绝对值不等式的几何意义与绝对值三角不等式的应用，考查考查化归思想与恒成立问题，属于中档题．