Question

如图所示，在△DEM中，＝(0，－8)，N在y轴上，且点E在x轴上移动．

(1)求点M的轨迹方程；

(2)过点F(0,1)作互相垂直的两条直线l₁、l₂，l₁与点M的轨迹交于点A、B，l₂与点M的轨迹交于点C、Q，求的最小值．

 

Answer 1

　(1)设M(x，y)，E(a,0)，由条件知D(0，－8)，

∵N在y轴上且N为EM的中点，∴x＝－a，

∵＝(－a，－8)·(x－a，y)＝－a(x－a)－8y＝2x²－8y＝0，∴x²＝4y(x≠0)，

∴点M的轨迹方程为x²＝4y(x≠0)．

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，Q(x₄，y₄)，直线l₁：y＝kx＋1(k≠0)，则直线l₂：y＝－x＋1，

由消去y得，x²－4kx－4＝0，

∴x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－4，

由消去y得，x²＋x－4＝0，

∴x₃＋x₄＝－，x₃x₄＝－4.

∵A、B在直线l₁上，∴y₁＝kx₁＋1，y₂＝kx₂＋1，

∵C、Q在直线l₂上，∴y₃＝－x₃＋1，y₄＝－x₄＋1.

∴＝(x₃－x₁，y₃－y₁)·(x₂－x₄，y₂－y₄)

＝(x₃－x₁)(x₂－x₄)＋(y₃－y₁)·(y₂－y₄)

＝(x₃－x₁)(x₂－x₄)＋(－x₃－kx₁)(kx₂＋x₄)

＝x₃x₂－x₁x₂－x₃x₄＋x₁x₄－x₂x₃－k²x₁x₂－x₃x₄－x₁x₄

＝(－1－k²)x₁x₂＋(－1－)x₃x₄＝4(1＋k²)＋4(1＋)＝8＋4(k²＋)≥16等号在k²＝时取得，

即k＝±1时成立．∴的最小值为16.