Question

已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦长MN的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．

Answer 1

　(1)

如图，设动圆的圆心O₁(x，y)，由题意知|O₁A|＝|O₁M|，当O₁不在y轴上时，过O₁作O₁H⊥MN交MN于H，则H为MN的中点，

∴|O₁M|²＝|O₁H|²＋|MH|²＝x²＋16，

又|O₁A|²＝(x－4)²＋y²，

∴(x－4)²＋y²＝x²＋16，整理得y²＝8x(x≠0)，

当O₁在y轴上时，∵|OA|＝4＝|MM|，

∴O₁与O重合，此时点O₁(0,0)也满足y²＝8x，

∴动圆圆心O₁的轨迹C方程为y²＝8x.

(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，

P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

将y＝kx＋b代入y²＝8x中，

得k²x²＋(2bk－8)x＋b²＝0，

其中Δ＝－32kb＋64>0.

由根与系数的关系得，x₁＋x₂＝，①

x₁x₂＝，②

因为x轴是∠PBQ的角平分线，

所以，

即y₁(x₂＋1)＋y₂(x₁＋1)＝0，

(kx₁＋b)(x₂＋1)＋(kx₂＋b)(x₁＋1)＝0，

2kx₁x₂＋(b＋k)(x₁＋x₂)＋2b＝0，③

将①，②代入③得2kb²＋(k＋b)(8－2bk)＋2k²b＝0，

∴k＝－b，此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，

即直线l过定点(1,0)．