Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=

（1）求证：PC⊥BC

（2）求点A到平面PBC的距离

 

Answer 1

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：

（1）要证明，可以转化为证明垂直于所在的平面，由平面，，，，，容易证明平面，从而得证；

（2）有两种方法可以求点到平面的距离：

方法一，注意到第一问证明的结论，取的中点，容易证明∥平面，点到平面的距离相等，而到平面的距离等于到平面的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面⊥平面，交线是，所以只求到的距离即可，在等腰直角三角形中易求；

方法二，等体积法：连接，则三棱锥与三棱锥体积相等，而三棱锥体积易求，三棱锥的地面的面积易求，其高即为点到平面的距离，设为，则利用体积相等即求．

试题解析：（1）证明：因为平面，平面，所以．由，得，又，?平面，所以⊥平面．因为?平面，故．

（2）连接．设点到平面的距离为．因为，，所以．

从而，，得的面积1．由平面及，得三棱锥的体积.因为平面，平面，所以．又，所以．由，，得的面积．由，，得，故点A到平面PBC的距离等于．

考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．