Question

求

∫

π 2 - π 2

tan2x[sin22x+ln(x+

1+x2

)]dx．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的综合应用

分析：将被积函数利用定积分的运算法则化为两个函数的定积分，然后判断h（x）=tan²xln（x+

1+x2

）为奇函数，则它对称区间的定积分为0，然后对剩下的部分利用倍角公式化简．

解答： 解：原式=

∫

π 2 - π 2

tan2xsin22xdx+

∫

π 2 - π 2

tan2xln(x+

1+x2

)dx，设h（x）=tan²xln（x+

1+x2

），因为h（-x）=tan²xln（-x+

1+x2

）=tan²xln

1

x+ 1+x2

=-h（x），所以h（x）为奇函数，所以

∫

π 2 - π 2

tan2xln(x+

1+x2

)dx=0，
所以原式=

∫

π 2 - π 2

tan2xsin22xdx
=

∫

π 2 - π 2

sin2x

cos2x

4sin2xcos2xdx
=

∫

π 2 - π 2

4sin4xdx
=4

∫

π 2 - π 2

(1-cos2x)2dx
=4

∫

π 2 - π 2

(1-

1+cos2x

2

)2dx
=

∫

π 2 - π 2

(1-cos2x)2dx
=

∫

π 2 - π 2

(1-2cos2x+cos22x)dx
=

∫

π 2 - π 2

(1-2cos2x+

1+cos4x

2

)dx
=

∫

π 2 - π 2

(

3

2

-2cos2x+

1

2

cos4x)dx
=(

3

2

x-sin2x+

1

8

sin4x)

|

π 2 - π 2

=

3

2

π．

点评：本题考查了定积分的计算；用到了：奇函数对称区间的定积分为0以及定积分是运算法则，关键是将被积函数利用倍角公式降次，使得容易找到被积函数的原函数．