Question

若函数f（x）满足：①在定义域D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，那么y=f（x）叫做对称函数．现有f（x）=

1-x

-k是对称函数，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：函数于f（x）=

1-x

-k是在（-∞，1]上是减函数，由②可得 f（a）=-a，f（b）=-b，a和 b 是关于x的方程

1-x

-k=-x在（-∞，1]上有两个不同实根．利用换元法，转化为k=-t²+t+2=-（t-

1

2

）²+

5

4

在[0，+∞）有两个不同实根，解此不等式求得 k 的范围即为所求．

解答： 解：由于f（x）=

1-x

-k是在（-∞，1]上是减函数，故满足①，
又f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，
∴

1-a -k=-a 1-b -k=-b

∴a和 b 是关于x的方程

1-x

-k=-x在（-∞，1]上有两个不同实根．
令t=

1-x

，则x=1-t²，t≥0，
∴k=1-t²+t=-（t-

1

2

）²+

5

4

，
∴k的取值范围是[1，

5

4

）
故答案为[1，

5

4

）

点评：本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想，得到a和 b 是

1-x

-k=-x在（-∞，1]上有两个不同实根，是解题的难点，属中档题．