Question

【题目】已知函数.

（1）求在点处的切线方程；

（2）若函数与在内恰有一个交点，求实数的取值范围；

（3）令，如果图象与轴交于，中点为，求证:.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】

（1）利用导数的几何意义，求出斜率和切点，然后再根据点斜式即可求出结果；

（2）利用导数求出函数在的单调性，根据函数的单调性做出草图，即可求出实数的取值范围；

（3）由点在图象上，把点的坐标代入的解析式得方程组，两式相减得关于的方程，假设成立，求导，得关于的方程，由中点坐标公式转化关于的方程，两方程消去，得关于的方程，整理此方程，分子分母同除以，整理方程，右边为，设，左边得关于的函数，求此函数的导数，得函数的单调性，得函数值恒小于，所以方程不成立，所以假设不成立，所以．

（1），

则，且切点坐标为；

所以所求切线方程为：

（2），所以在为增函数，在为减函数，

， ；

所以

（3），， 假设，则有

①-②得： ∴，

由④得， ∴；即；

即⑤； 令，，

则在0<t<1上增函数..∴⑤式不成立，故与假设矛盾.∴.