Question

【题目】设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）设椭圆的焦距为，根据题意列出方程组，求得，，即可求解椭圆的方程；

（II）设点，，由题意，且，由的面积是面积的3倍，可得，联立方程求得的值，即可求解的值.

（Ⅰ）设椭圆的焦距为，由已知得∴，，

所以，椭圆的方程为．

（II）设点，，由题意，且

由的面积是面积的3倍，可得，

所以，从而，

所以，即．

易知直线的方程为，由消去，可得

由方程组消去，可得．

由，可得，

整理得，解得，或．

当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．

所以，的值为．