Question

已知函数f（x）=

x2

8

-lnx，x∈[1，3]
（Ⅰ）求f（x）的最大值与最小值
（Ⅱ）若任意x∈[1，3]，t∈[0，2]，有f（x）＜4-at恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）只需要求出函数在该区间上的极值、端点值，然后即可比较得到函数的最值；
（2）问题转化为f（x）_max＜（4-at）_min即可，然后借助于导数先研究函数的单调性研究最．

解答： 解：（1）因为函数f(x)=

x2

8

-lnx，
所以f′(x)=

x

4

-

1

x

，令f′（x）=0得x=±2．
因为x∈[1，3]，所以当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，当x∈[2，3]时，f′（x）＞0．
故f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增．
所以f(x)极小=f(2)=

1

2

-ln2．
又f（1）=

1

8

，f(3)=

9

8

-ln3，且f（1）-f（3）=ln3-1＞0．
所以f（1）＞f（3）．所以x=1时，f（x）_max=

1

8

，f（x）_min=f（2）=

1

2

-ln2．
（2）由（1）知当x∈[1，3]时，f(x)≤

1

8

，
故对任意x∈[1，3]，t∈[0，2]，有f（x）＜4-at恒成立，
只需对于t∈[0，2]，有

1

8

＜4-at恒成立，即at＜

31

8

恒成立．
令g（t）=at，t∈[0，2]．
所以

g(0)＜ 31 8 g(2)＜ 31 8

，解得a＜

31

16

．
所以实数a的取值范围是(-∞，

31

16

)．

点评：本题考查了利用导数研究函数在连续的闭区间上的最值问题以及不等式恒成立问题的基本思路，属于常规题，难度不大．