Question

如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，∠A=60°，∠C=90°，CD=CB=2，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A′-BCD，如图2．
（1）若二面角A′-BD-C的余弦值为

3

3

，求证：A′C⊥平面BCD；
（2）当三棱锥A′-BCD的体积最大时，求直线A′D与平面A′BC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设AC，BD交于点O，CO=BO=DO=

2

，AB=AD=2

2

，AO=

6

，将△ABD沿BD折起，A′O⊥BD，CO⊥BD，A′O=

6

，CO=

2

，∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角，设A′C=x，cos∠A′OC=

6+2-x2

2 6 × 2

=

3

3

，解得A′C=2，由勾股定理得BC⊥A′C，DC⊥A′C，由此能证明A′C⊥平面BCD．
（2）三棱锥A′-BCD的体积最大时，A′C⊥平面BCD，以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A′D与平面A′BC所成角的正弦值．

解答： 解：（1）证明：在图（1）中，设AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，
∠A=60°，∠C=90°，CD=CB=2，
∴CO=BO=DO=

2

，AB=AD=2

2

，AO=

6

，
∴将△ABD沿BD折起，A′O⊥BD，CO⊥BD，A′O=

6

，CO=

2

，
∴∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角，
设A′C=x，∵二面角A′-BD-C的余弦值为

3

3

，
∴cos∠A′OC=

6+2-x2

2 6 × 2

=

3

3

，解得x=2，即A′C=2，
∵BC=DC=2，A′B=A′D=2

2

，∴BC²+A′C²=A′B²，CD²+A′C²=A′D²，
∴BC⊥A′C，DC⊥A′C，
又BC∩CD=C，∴A′C⊥平面BCD．
（2）解：三棱锥A′-BCD的体积最大时，A′C⊥平面BCD，
以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CA′为z轴，
建立空间直角坐标系，
A′（0，0，2），D（0，2，0），

A′D

=（0，2，-2），
平面A′BC的法向量

n

=（0，1，0），
设直线A′D与平面A′BC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

A′D

，

n

＞|=|

2

8

|=

2

2

．
∴直线A′D与平面A′BC所成角的正弦值为

2

2

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、折叠问题等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．