Question

9．已知函数f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$，（a＞0且a≠1）是奇函数
（1）求m的值；
（2）讨论f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明．

Answer 1

分析 （1）由奇函数可得：f（-x）+f（x）=0，求出m的值之后，再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；
（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明．

解答 解：（1）∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
则log_a$\frac{1-mx}{x-1}$+log_a$\frac{1+mx}{-x-1}$=0，
即log_a（$\frac{1-mx}{x-1}$•$\frac{1+mx}{-x-1}$）=0，
即$\frac{1-mx}{x-1}$•$\frac{1+mx}{-x-1}$=1，
即1-m²x²=1-x²，
即m²=1，即m=±1，
若m=1，则f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$=log_a$\frac{1-x}{x-1}$=f（x）=log_a（-1）无意义，
若m=-1，则f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$=log_a$\frac{1+x}{x-1}$，有意义，
即m=-1．
（2）由$\frac{1+x}{x-1}$＞0得x＞1或x＜-1，即函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
设1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=log_a$\frac{1+{x}_{1}}{{x}_{1}-1}$-log_a$\frac{1+{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$=log_a$\frac{（1+{x}_{1}）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（1+{x}_{2}）}$，
而（1+x₁）（x₂-1）-（x₁-1）（1+x₂）=2（x₂-x₁）＞0，及（x₁-1）（1+x₂）＞0，
∴$\frac{（1+{x}_{1}）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（1+{x}_{2}）}＞1$，
若a＞1，
∴$lo{g}_{a}\frac{（1+{x}_{1}）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（1+{x}_{2}）}＞0$
∴f（x₁）＞f（x₂）．
当0＜a＜1时，同理可证f（x）在区间（1，+∞）上单调递增．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用函数奇偶性的性质结合函数单调性的定义是解决本题的关键．