Question

4．已知动点P（x，y）到定点F（0，1）的距离与动点P（x，y）到定直线l：y=3的距离之和为4，若动点P的轨迹为曲线C．垂直于x轴的直线与曲线C交于相异两点A、B．
（1）求曲线C的方程；
（2）判断△ABF的周长是否为定值．

Answer 1

分析 （1）由题设条件动点P（x，y）到定点F（0，1）的距离与动点P（x，y）到定直线l：y=3的距离之和为4，由此等量关系建立方程求得动点P的轨迹方程；
（2）直线x=a（-2$\sqrt{3}$≤a≤2$\sqrt{3}$），代入曲线C，不妨设A（a，4-$\frac{{a}^{2}}{12}$），B（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），则|AF|=$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，|BF|=7-（4-$\frac{{a}^{2}}{12}$），|AB|=4-$\frac{{a}^{2}}{12}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$，即可得出结论．

解答 解：（1）设P（x，y），由题意有$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$+|y-3|=4
当y≥3时，有$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$+y-3=4，整理得x²=-12（y-4）；
当y＜3时，有$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$+3-y=4，整理得x²=4y；
（2）直线x=a（-2$\sqrt{3}$≤a≤2$\sqrt{3}$），代入曲线C，不妨设A（a，4-$\frac{{a}^{2}}{12}$），B（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），则
|AF|=$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，|BF|=7-（4-$\frac{{a}^{2}}{12}$），|AB|=4-$\frac{{a}^{2}}{12}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴△ABF的周长是4-$\frac{{a}^{2}}{12}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$-1+7-（4-$\frac{{a}^{2}}{12}$）=6是定值．

点评 本题以轨迹方程为载体，考查求轨迹方程，同时考查直线与曲线的位置关系．解题的关键是理解题意，找出等量关系，从而建立起关于动点P的坐标的方程，这是求轨迹方程时常用方法，也是一个常规方法，应总结此方法的步骤规律．