Question

【题目】如图所示的多面体的底面为直角梯形，四边形为矩形，且，，，，，，分别为，，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析．（2）

【解析】

（1）先证明平面，可得，取中点，利用等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，再求出平面的一个法向量和直线的方向向量，求出两向量夹角的余弦值后利用平方关系即可得解.

（1）证明：，分别为，的中点，，

四边形为矩形，，

又，，，平面，

平面，平面，，

取中点，连接，，，则，

点，，，同在平面内．

在中，，，为中点，

，

又，，平面，平面．

（2）由（1）知，，三条直线两两垂直且交于点，以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图．

则，，，，

，分别为，中点，可得，，

，，，

设平面的一个法向量为，则，即，

令，可得，，，

所以．

所以与平面所成角的余弦值为.