Question

【题目】如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，，且，，．

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）首先取的三等分点，连结，，根据题意得到，，即四边形是平行四边形，所以.再根据线面平行的判定即可证明平面.

（2）首先证明平面，再分别以，，为轴轴轴，建立空间坐标系，求出，平面法向量，代入点到面的距离公式即可.

（3）分别求出平面和平面的法向量，代入二面角公式即可.

（1）

取的三等分点，连结，，则．

又因为，所以.

因为，所以，四边形是平行四边形.

所以，

又平面平面，平面PAD，

所以平面.

（2）设点到平面的距离为．

因为，，所以，

所以，因为，，

所以平面.

分别以，，为轴轴轴，建立空间坐标系，

，，，，，.

，，.

设平面法向量，

因为，所以，

点到平面的距离，

点到平面的距离为．

（3），，

设平面的法向量为，则

，即，

，，

设平面的法向量为，

，即，

所以，二面角的余弦值为.