Question

【题目】设，函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上有唯一零点，试求a的值．

Answer 1

【答案】（1）的单调减区间是，单调增区间是；（2）.

【解析】

（1）将代入中可得（）,令,解得,进而求得单调区间；

（2）令,解得（舍）,,可得函数在上单调递减,在上单调递增,则,由于函数在区间上有唯一零点,则,整理即为,设,可得在是单调递增的,则,进而求得

（1）函数,

当时,（）,

∴,

令,即,

解得或（舍）,

∴时,；时,,

∴的单调减区间是,单调增区间是

（2）,

则,

令,得,

∵,

∴,

∴方程的解为（舍）,；

∴函数在上单调递减,在上单调递增，

∴,

若函数在区间上有唯一零点,

则,

而满足,

∴,

即,

设,

∵在是单调递增的,

∴至多只有一个零点,

而,

∴用代入,

得,

解得