Question

【题目】已知函数，其中e为自然对数的底数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）用表示中较大者，记函数.若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.

【解析】

（1）由题可得,结合的范围判断的正负,即可求解；

（2）结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解

（1）,

①当时,,

∴函数在内单调递增；

②当时,令,解得或,

当或时,,则单调递增,

当时,,则单调递减,

∴函数的单调递增区间为和,单调递减区间为

（2）（Ⅰ）当时,所以在上无零点；

（Ⅱ）当时,,

①若,即,则是的一个零点；

②若,即,则不是的零点

（Ⅲ）当时,,所以此时只需考虑函数在上零点的情况,因为,所以

①当时,在上单调递增。又，所以

（ⅰ）当时,在上无零点；

（ⅱ）当时,,又,所以此时在上恰有一个零点；

②当时,令,得,由,得；由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,

因为,,所以此时在上恰有一个零点,

综上,