题目内容
4．某同学在研究函数f（x）=$\frac{4}{|x|+2}$-1（x∈R）时，得出了下面4个结论：①等式f（-x）=f（x）在x∈R时恒成立；②函数f（x）在x∈R上的值域为（-1，1]；③曲线y=f（x）与g（x）=2x-2仅有一个公共点；④若f（x）=$\frac{4}{|x|+2}$-1在区间[a，b]（a，b为整数）上的值域是[0，1]，则满足条件的整数数对（a，b）共有5对．其中正确结论的序号有①②④（请将你认为正确的结论的序号都填上）．分析 可以先研究函数的奇偶性，然后做出函数的图象，据此求解．
解答 解：函数f（x）=$\frac{4}{|x|+2}$-1易知函数的定义域为R，且f（-x）=f（x），故函数为偶函数．故①正确；
当x＞0时，函数f（x）=$\frac{4}{|x|+2}$-1=$\frac{4}{x+2}-1$，该函数在（0，+∞）上减函数，且x=0时，f（x）=1；当x→+∞时，f（x）→-1．函数的值域为：（-1，1]，所以②正确；
结合奇偶性，作出f（x）的
图象如下：
易知函数的值域是（-1，1），故②正确；
曲线y=f（x）与g（x）=2x-2，结合函数的图象，可知x=0时，g（0）=$\frac{1}{4}$，仅有一个公共点不正确，所以③不正确；
若f（x）=$\frac{4}{|x|+2}$-1在区间[a，b]（a，b为整数）上的值域是[0，1]，则满足条件的整数数对（a，b）共有5对．分别为（-2，0），（-2，1），（-2，2），（-1，2），（0，2）所以④正确．
故正确的命题是①②④．
故答案为：①②④．
点评 本题考查了函数的性质．一般先研究定义域，然后判断函数的奇偶性、单调性等性质作为突破口，有一些要结合函数的图象加以分析，注意数形结合的思想的应用．
练习册系列答案
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19．下列每组函数是同一函数的是（ ）
| A． | f（x）=x0与f（x）=1 | B． | f（x）=$\sqrt{{x}^{2}}$-1与f（x）=|x|-1 | ||
| C． | f（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{x+2}$与f（x）=x-2 | D． | f（x）=$\sqrt{（x-1）（x-2）}$与f（x）=$\sqrt{x-1}$$\sqrt{x-2}$ |
9．下列函数中，是减函数且定义域为（0，+∞）的是（ ）
| A． | y=log2x | B． | y=$\frac{1}{x^2}$ | C． | y=$\frac{1}{2^x}$ | D． | y=$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$ |