Question

设方程2^x+x+2=0和log₂x+x+2=0的根分别为p和q，凼数f（x）=（x+p）（x+q），则关于x的不等式f（x²+2x+2）＜f（0）的解集是

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：把两个方程分别看作指数函数与直线y=-x-2的交点B和对数函数与直线y=-x-2的交点A的横坐标分别为p和q，而指数函数与对数函数互为反函数则关于y=x对称，求出AB的中点坐标得到p+q=-2；然后把函数f（x）化简后得到一个二次函数，对称轴为直线x=-

p+q

2

=1，所以x²+2x+2≥1，f（2）=f（0）且当x＞1时，函数为增函数，即可得到答案．

解答： 解：方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0可以分别看作方程方程2^x=-x-2和方程log₂x=-x-2，
方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分别为p和q即分别为函数y=2^x与函数y=-x-2的交点B横坐标为p；y=log₂^x与y=-x-2的交点C横坐标为q．
由y=2^x与y=log₂^x互为反函数且关于y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x上，
联立得

y=x y=-x-2

，解得A点坐标为（-1，-1）
根据中点坐标公式得到

p+q

2

=-1，即p+q=-2，
则f（x）=（x+p）（x+q）+2=x²+（p+q）x+pq+2为开口向上的抛物线，且对称轴为x=-

p+q

2

=1，
因为x²+2x+2≥1，f（2）=f（0）且当x＞1时，函数为增函数，
所以由f（x²+2x+2）＜f（0），可得x²+2x+2＜2，
所以-2＜x＜0，
故答案为：（-2，0）．

点评：此题是一道综合题，考查学生灵活运用指数函数、对数函数的图象与性质，要求学生掌握反函数的性质，会利用二次函数的图象与性质解决实际问题．