Question

9．已知等差数列{a_n}的前n（n∈N*）项和为S_n，a₃=3，且λS_n=a_na_n+1，在等比数列{b_n}中，b₁=2λ，b₃=a₁₅+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}的前n（n∈N*）项和为T_n，且$（{S_n}+\frac{n}{2}）{c_n}=1$，求T_n．

Answer 1

分析 （I）分别令n=1，2列方程，再根据等差数列的性质即可求出a₁，a₂得出a_n，计算b₁，b₃得出公比得出b_n；
（II）求出c_n，根据裂项法计算T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵λS_n=a_na_n+1，a₃=3，∴λa₁=a₁a₂，且λ（a₁+a₂）=a₂a₃，
∴a₂=λ，a₁+a₂=a₃=3，①
∵数列{a_n}是等差数列，∴a₁+a₃=2a₂，即2a₂-a₁=3，②
由①②得a₁=1，a₂=2，∴a_n=n，λ=2，
∴b₁=4，b₃=16，∴{b_n}的公比q=$±\sqrt{\frac{{b}_{3}}{{b}_{1}}}$=±2，
∴${b_n}={2^{n+1}}$或b_n=（-2）ⁿ⁺¹．
（Ⅱ）由（I）知${S_n}=\frac{n（1+n）}{2}$，∴${c_n}=\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}++\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{{n^2}+3n+2}}$．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的性质，裂项法数列求和，属于中档题．