Question

在复平面内，O是原点，向量

OA

对应的复数是z₁，z₁=2+i．
（Ⅰ）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量

AB

对应的复数z₂和|z₁•z₂|；
（Ⅱ）复数z₃=

2

+

3

i，z4=

3

-

2

i，z₃，z₄对应的点C，D．试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上？并证明你的结论．

Answer 1

考点：复数的代数表示法及其几何意义

专题：数系的扩充和复数

分析：（I）点A关于实轴的对称点为点B，A（2，1），可得B（2，-1）利用向量的坐标运算可得

AB

，z₂=-2i．利用复数的乘法运算法则可得z₁•z₂，利用模的计算公式即可得出．
（II）由于

OA

=（2，1），可得|

OA

|=

22+12

=

5

．同理可得|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|=

5

，即可判断出．

解答： 解：（I）∵点A关于实轴的对称点为点B，A（2，1），∴B（2，-1）
∴

AB

=（0，-2），∴z₂=-2i．
∴z₁•z₂=（2+i）•（-2i）=2-4i，
∴|z₁•z₂|=

22+(-4)2

=2

5

；
（II）∵

OA

=（2，1），
∴|

OA

|=

22+12

=

5

．同理可得|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|=

5

，
∴A、B、C、D四点到原点O的距离相等，
∴A、B、C、D四点是在以原点为圆心、

5

为半径的同一个圆上．

点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义、模的计算公式、向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．