Question

设a＞0，b＞0，且不等式

1

a

+

1

b

+

k

a+b

≥0恒成立，则实数k的最小值等于

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,基本不等式在最值问题中的应用

专题：常规题型,转化思想,不等式的解法及应用

分析：把k看作参数，将参数分离成k≥-

(a+b)2

ab

，再利用基本不等式求-

(a+b)2

ab

的最大值．

解答： 解：∵a＞0，b＞0，
由

1

a

+

1

b

+

k

a+b

≥0，得k≥-

(a+b)2

ab

，
只需k≥[-

(a+b)2

ab

]_max即可．
∵a+b≥2

ab

，∴-

(a+b)2

ab

≤-

(2 ab )2

ab

=-4．
∴k≥-4，从而实数k的最小值等于-4．
故答案为：-4．

点评：本题属于不等式恒成立问题，是高考常考题型之一．常规思路是先分离参数，再转化为函数最值问题求解．