题目内容
（2006•西城区一模）已知数列{an}满足a1=a（a≠0，且a≠1），其前n项和Sn=
(1-an)．
（Ⅰ）求证：{an}为等比数列；
（Ⅱ）记bn=anlg|an|（n∈N*），Tn为数列{bn}的前n项和．
（i）当a=2时，求
；
（ii）当a=-
时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有bn≥bm？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．
| a |
| 1-a |
（Ⅰ）求证：{an}为等比数列；
（Ⅱ）记bn=anlg|an|（n∈N*），Tn为数列{bn}的前n项和．
（i）当a=2时，求
| lim |
| n→∞ |
| Tn |
| bn |
（ii）当a=-
| ||
| 3 |
分析：（I）利用当n≥2时，an=Sn-Sn-1和等比数列的定义即可得出；
（II）（i）利用（I）可得bn，再利用“错位相减法”可得Tn，再利用极限的求法即可得出．
（ii）对n分奇数、偶数讨论，再求出b2k+2-b2k＞0时的k的值即可．
（II）（i）利用（I）可得bn，再利用“错位相减法”可得Tn，再利用极限的求法即可得出．
（ii）对n分奇数、偶数讨论，再求出b2k+2-b2k＞0时的k的值即可．
解答：证明：（I）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
(1-an)-
(1-an-1)
整理得：
=a，
∴{an}是公比为a的等比数列，
又a1=a，∴an=an．
（II）因为an=an，bn=anlg|an|=anlg|an|=nanlg|a|
（i）当a=2时，Tn=(2+2•22+…+n•2n)lg2，
2Tn=[22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1]lg2，
两式相减，整理得：Tn=2[1-(1-n)•2n]lg2，
所以，
=2(
-
+1)=2，
（ii）∵-1＜a＜0，
∴当n为偶数时，bn=nanlg|a|＜0；
当n为奇数时，bn=nanlg|a|＞0．
∴如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数．
b2k+2-b2k=2a2k(a2-1)(k-
)lg|a|，(k∈N*)，
当a=-
时，a2-1=-
∴2a2k（a2-1）lg|a|＞0
又
=
，所以，当k＞
时，b2k+2＞b2k
即b8＜b10＜b12＜…
当k＜
时，b2k+2＜b2k，即b8＜b6＜b4＜b2
即存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有bn≥b8．
| a |
| 1-a |
| a |
| 1-a |
整理得：
| an |
| an-1 |
∴{an}是公比为a的等比数列，
又a1=a，∴an=an．
（II）因为an=an，bn=anlg|an|=anlg|an|=nanlg|a|
（i）当a=2时，Tn=(2+2•22+…+n•2n)lg2，
2Tn=[22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1]lg2，
两式相减，整理得：Tn=2[1-(1-n)•2n]lg2，
所以，
| lim |
| n→∞ |
| Tn |
| bn |
| 1 |
| n•2n |
| 1 |
| n |
（ii）∵-1＜a＜0，
∴当n为偶数时，bn=nanlg|a|＜0；
当n为奇数时，bn=nanlg|a|＞0．
∴如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数．
b2k+2-b2k=2a2k(a2-1)(k-
| a2 |
| 1-a2 |
当a=-
| ||
| 3 |
| 2 |
| 9 |
∴2a2k（a2-1）lg|a|＞0
又
| a2 |
| 1-a2 |
| 7 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
即b8＜b10＜b12＜…
当k＜
| 7 |
| 2 |
即存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有bn≥b8．
点评：熟练掌握“当n≥2时，an=Sn-Sn-1”、等比数列的定义及其通项公式和前n项和公式、“错位相减法”极限的运算法则、分类讨论的思想方法、数列的单调性等是解题的关键．
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