Question

11．数列{a_n}满足a₁=1，a₂=${A}_{2}^{1}$+${A}_{2}^{2}$，…，a_n=${A}_{n}^{1}$+${A}_{n}^{2}$+…+${A}_{n}^{n}$（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）求a_n与a_n-1之间的关系式（n∈N^*，n≥2）；
（3）求证：（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜3（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）运用排列数公式，计算即可得到所求；（2）由排列数公式，提取n，即可得到所求a_n与a_n-1之间的关系式；（3）运用（2）的结论和阶乘的定义，结合不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）a₂=${A}_{2}^{1}$+${A}_{2}^{2}$=2+2=4，
a₃=${A}_{3}^{1}$+${A}_{3}^{2}$+${A}_{3}^{3}$=3+6+6=15，
a₄=${A}_{4}^{1}$+${A}_{4}^{2}$+${A}_{4}^{3}$+${A}_{4}^{4}$=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64，
a₅=${A}_{5}^{1}$+${A}_{5}^{2}$+${A}_{5}^{3}$+${A}_{5}^{4}$+${A}_{5}^{5}$=5+20+60+120+120=325；
（2）a_n=${A}_{n}^{1}$+${A}_{n}^{2}$+…+${A}_{n}^{n}$=n+n（n-1）+n（n-1）（n-2）+…+n!
=n+n[（n-1）+（n-1）（n-2）+…+（n-1）!]
=n+na_n-1；
（3）证明：由（2）可知$\frac{1+{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，
所以（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=$\frac{1+{a}_{1}}{{a}_{1}}$•$\frac{1+{a}_{2}}{{a}_{2}}$…$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n}}$
=$\frac{1+{a}_{n}}{n!}$=$\frac{1}{n!}$+$\frac{{A}_{n}^{1}}{n!}$+$\frac{{A}_{n}^{2}}{n!}$+…+$\frac{{A}_{n}^{n}}{n!}$=$\frac{1}{n!}$+$\frac{1}{（n-1）!}$+$\frac{1}{（n-2）!}$+…+$\frac{1}{（n-n）!}$
=$\frac{1}{0!}$+$\frac{1}{1!}$+$\frac{1}{2!}$+…+$\frac{1}{n!}$≤1+1+$\frac{1}{1•2}$+$\frac{1}{2•3}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$
=2+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=3-$\frac{1}{n}$＜3（n≥2）．
所以n≥2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立．

点评 本题考查数列的求和和通项，考查排列的定义和运算，同时考查阶乘的运用和不等式的性质，属于中档题．