Question

设

OM

=（1，

1

2

），

ON

=（0，1），O为坐标原点，动点P（x，y）满足0≤

OP

•

OM

≤1，0≤

OP

•

ON

≤1，则z=x²+y²的最大值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：利用数量积的运算性质可得点P满足的可行域，再利用两点间的距离公式即可得出．

解答： 解：∵

OM

=（1，

1

2

），

ON

=（0，1），O为坐标原点，动点P（x，y）满足0≤

OP

•

OM

≤1，0≤

OP

•

ON

≤1，
∴0≤x+

1

2

y≤1，0≤y≤1．
画出可行域：
由图象可知：当P取点A(-

1

2

，1)时，|OP|取得最大值

x2+y2

=

(- 1 2 )2+12

=

5 4

．
∴z=x²+y²的最大值是

5

4

．
故答案为：

5

4

．

点评：本题综合考查了数量积的运算性质、线性规划中的可行域、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了数形结合的能力，属于中档题．