Question

1．如图，当∠xOy=α，且α∈（0，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}$，π）时，定义平面坐标系xOy为α-仿射坐标系．在α-仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$分别为与x轴、y轴正向相同的单位向量，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$，则记为$\overrightarrow{OP}$=（x，y）．现给出以下说法：
①在α-仿射坐标系中，已知$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（3，t），若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则t=6；
②在α-仿射坐标系中，若$\overrightarrow{OP}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$），若$\overrightarrow{OQ}$=（$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{2}$），则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0；
③在60°-仿射坐标系中，若P（2，-1），则|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{3}$；
其中说法正确的有①③．（填出所有说法正确的序号）

Answer 1

分析 把新定义回归到向量的数量积的运算对每个结论进行验证，即可得出结论．

解答 解：①在α-仿射坐标系中，已知$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（3，t），若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则1×t=2×3，∴t=6，正确；
②在α-仿射坐标系中，若$\overrightarrow{OP}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$），若$\overrightarrow{OQ}$=（$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{2}$），则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=$\frac{1}{6}$-$\frac{5}{36}•1•1•cosα$-$\frac{1}{6}$≠0，故不正确；
③在60°-仿射坐标系中，若P（2，-1），则|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，正确；
故答案为：①③．

点评 本题为新定义，正确理解题中给出的斜坐标并与已知的向量知识相联系是解决问题的关键，属基础题