Question

12．已知函数f（x）=x³-2ax²+3ax，在x=1时取得极值．
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）-k≤0在[0，4]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，得到f′（1）=0，从而求出a的值，检验即可；
（Ⅱ）?x∈[0，4]，f（x）-k≤0恒成立，即k≥f（x）_max，根据函数的单调性，求出f（x）的最大值，从而求出k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意的得f'（x）=3x²-4ax+3a，
∵x=1是函数的极值点，
∴f'（1）=0，
即3-4a+3a=0，
解得a=3，
经检验a=3符合题意，
∴a=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x³-6x²+9x，
?x∈[0，4]，f（x）-k≤0恒成立，
即k≥f（x）_max，
由（Ⅰ）可知f（x）在[0，1）单调递增，在[1，3]单调递减，（3，4]单调递增，
∴f_max=f（1）=f（4）=4，
∴k≥4．

点评 本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、数形结合思想．